$\text{a) Xét ΔABE và ΔKBE có:}$
$\text{$\widehat{ABE}$ = $\widehat{KBE}$ (BD là tia phân giác $\widehat{B}$)}$
$\text{BE chung}$
$\text{$\widehat{AEB}$ = $\widehat{KEB}$ = $90^{o}$ (AE ⊥BD)}$
⇒ $\text{ΔABE = ΔKBE (g.c.g)}$
⇒ $\text{BA = BK (2 cạnh tương ứng)}$
⇒ $\text{ΔABK cân tại B (DHNB)}$
$\text{b) Xét ΔABD và ΔKBD có:}$
$\text{BD chung}$
$\text{$\widehat{ABD}$ = $\widehat{KBD}$ (BD là tia phân giác $\widehat{B}$}$
$\text{BA = BK (cmt)}$
⇒ $\text{ΔABD = ΔKBD (c.g.c)}$
⇒ $\text{$\widehat{BAD}$ = $\widehat{BKD}$ (2 góc tương ứng)}$
$\text{mà $\widehat{BAD}$ = $90^{o}$ (ΔABC vuông tại A)}$
⇒ $\text{$\widehat{BKD}$ = $90^{o}$}$
⇒ $\text{DK ⊥BC (DHNB)}$
$\text{c) Có: $\widehat{ABC}$ = $60^{o}$ (gt)}$
$\text{mà BD là tia phân giác $\widehat{ABC}$ (gt)}$
⇒ $\text{$\widehat{DBC}$ = $30^{o}$}$
$\text{Xét ΔABC có:}$
$\text{$\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BCA}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc Δ)}$
⇒ $\text{$60^{o}$ + $90^{o}$ + $\widehat{BCA}$ = $180^{o}$}$
⇒ $\text{$\widehat{BCA}$ = $180^{o}$ - $60^{o}$ - $90^{o}$}$
⇒ $\text{$\widehat{BCA}$ = $30^{o}$}$
$\text{mà $\widehat{DBC}$ = $30^{o}$ (cmt)}$
⇒ $\text{$\widehat{DBC}$ = $\widehat{BCA}$ = $30^{o}$}$
⇒ $\text{ΔBCD cân tại D (DHNB)}$
$\text{mà DK là đường cao (DK ⊥BC)}$
⇒ $\text{DK đồng thời là đường trung trực của ΔBCD (tc Δ cân)}$
⇒ $\text{DK là trung điểm BC}$
$\text{d) Xét ΔABK có:}$
$\text{AH là đường cao (gt)}$
$\text{BE là đường cao (AE ⊥ BD)}$
$\text{AH ∩ BE tại I}$
⇒ $\text{I là trực tâm của ΔABK}$
⇒ $\text{KI là đường cao của ΔABK}$
⇒ $\text{KI ⊥ AB}$
