Đáp án:
$GTNN$ $A$ $=$ $-$$\frac{27}{4}$ $⇔$ $m$ $+$ $\frac{5}{4}$ $=$ $0$ $⇔$ $m = $ $-$$ $ $\frac{5}{4}$
Giải thích các bước giải:
$c)$ $Có$ $:$ $Phương$ $trình$ $luôn$ $có$ $nghiệm$ $với$ $mọi$ $m$ $(câu$ $a)$
$⇒$ $Phương$ $trình$ $có$ $hai$ $nghiệm$ $với$ $mọi$ $m$
$Theo$ $hệ$ $thức$ $Vi-et,$ $ta$ $có$ $:$
$\left \{ {{x_{1} + x_{2}=\frac{-b}{a}=2.(m+2)=2m+4 } \atop {x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=6m+3}} \right.$
$A$ $=$ $x_{1}$$^{2}$$x_{2}$ $+$ $x_{1}$$x_{2}$ $^{2}$
$⇔$ $A$ $=$ ($2m$ $+$ $4$).($6m + 3$)
$⇔$ $A$ $=$ $12$$m^{2}$ $+$ $30m$ $+$ $12$
$⇔$ $A$ $=$ $12$.($ $$m^{2}$$+$$\frac{5}{2}$$m$$+$$1$)
$⇔$ $A$ $=$ ($m^{2}$ $+$ $2$.$\frac{5}{4}$$m$ $+$ $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{9}{16}$)
$⇔$ $A$ $=$ $12$.$[$$($$m$ $+$ $\frac{5}{4}$$)$$^{2}$ $-$ $\frac{9}{16}$$]$
$Có$ $:$ $($$m$ $+$ $\frac{5}{4}$$)$$^{2}$ $\geq$ $0$ $với$ $mọi$ $m$ $∈$ $R$
$⇒$ $A$ $=$ $($$m$ $+$ $\frac{5}{4}$$)$$^{2}$ $-$ $\frac{9}{16}$ $\geq$ $-$$\frac{9}{16}$
$⇒$ $A$ $=$ $12$$.$$[$$($$m$ $+$ $\frac{5}{4}$$)$$^{2}$ $-$ $\frac{9}{16}$$]$ $\geq$ $12$.$($$-$ $\frac{9}{16}$$)$
$⇒$ $A$ $=$ $12$$.$$[$$($$m$ $+$ $\frac{5}{4}$$)$$^{2}$ $-$ $\frac{9}{16}$$]$ $\geq$ $-$$\frac{27}{4}$
$GTNN$ $A$ $=$ $-$$\frac{27}{4}$ $⇔$ $m$ $+$ $\frac{5}{4}$ $=$ $0$ $⇔$ $m = $ $-$$ $ $\frac{5}{4}$
