Đáp án:
\(\left( {d'} \right):x + \frac{{ - 8 + \sqrt {53} }}{6}y - 1 - \frac{{ - 8 + \sqrt {53} }}{3} = 0\)
Giải thích các bước giải:
Có:
\(vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3;4} \right) \to \left| {{{\overrightarrow n }_d}} \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\)
\(vtpt:{\overrightarrow n _d}' = \left( {a;b} \right) \to \left| {{{\overrightarrow n }_d}'} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Do đường thẳng (d') đi qua A(1;2)
⇒ (d') có dạng
\(\begin{array}{l}
a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\\
\to ax + by - a - 2b = 0
\end{array}\)
Do (d') tạo với (d) một góc 60 độ
\(\begin{array}{l}
\to \cos \left( {d;d'} \right) = \cos 60 = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_d}.{{\overrightarrow n }_d}'} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_d}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_d}'} \right|}}\\
\to \frac{1}{2} = \frac{{\left| {3a + 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\
\to 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \left| {6a + 8b} \right|\\
Do:\sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0\forall a;b \in R\\
\left| {6a + 8b} \right| \ge 0\forall a;b \in R\\
\to 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6a + 8b\\
Chọn:a = 1 \to 5\sqrt {1 + {b^2}} = 6 + 8b\\
\to 25\left( {1 + {b^2}} \right) = 36 + 96b + 64{b^2}\left( {b \ge - \frac{6}{8}} \right)\\
\to 39{b^2} + 96b + 11 = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
b = \frac{{ - 8 + \sqrt {53} }}{6}\\
b = \frac{{ - 8 - \sqrt {53} }}{6}\left( l \right)
\end{array} \right.\\
KL:\left( {d'} \right):x + \frac{{ - 8 + \sqrt {53} }}{6}y - 1 - \frac{{ - 8 + \sqrt {53} }}{3} = 0
\end{array}\)
