Đáp án:
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx + y = 1\\
2x - \left( {m + 1} \right)y = - 1
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
y = 1 - mx\\
2x - \left( {m + 1} \right)\left( {1 - mx} \right) = - 1\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to 2x + {m^2}x - m + mx - 1 + 1 = 0\\
\to \left( {2 + m + {m^2}} \right)x = m\\
\to x = \frac{m}{{2 + m + {m^2}}}\\
\to y = 1 - mx = 1 - \frac{{{m^2}}}{{2 + m + {m^2}}}\\
= \frac{{2 + m + {m^2} - {m^2}}}{{2 + m + {m^2}}}\\
= \frac{{m + 2}}{{2 + m + {m^2}}}
\end{array}\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2 + m + {m^2} \ne 0\\
Mà:2 + m + {m^2} = {m^2} + 2m.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\\
= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\forall m \in R\\
\to 2 + m + {m^2} \ne 0\left( {ld} \right)
\end{array}\)
⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m
