Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Điều kiện: $ 0\le x\le 1 $
Ta thấy nếu $ {{x}_{0}} $ là nghiệm của (*) thì $ 1-{{x}_{0}} $ cũng là nghiệm của (*). Do đó BPT có nghiệm duy nhất khi $ {{x}_{0}}=1-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\dfrac{1}{2} $
Thay $ {{x}_{0}} $ vào BPT ta được $ -\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+2m\sqrt{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}}+2\sqrt[4]{\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}}\ge m+{{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m=0 $
Với $ m=0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow -\sqrt{x}-\sqrt{1-x}+2\sqrt[4]{x\left( 1-x \right)}\ge 0 $
$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow {{\left( \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x} \right)}^{2}}\le 0 \\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{1-x}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left( TMDK \right) \end{array} $
Vậy với $ m=0 $ thì (*) có nghiệm duy nhất
