Giải thích các bước giải:
a.Ta có : $AD,BK$ là đường cao $\Delta ABC$
$\to AD\perp BC , BK\perp AC\to \widehat{BDH}=\widehat{HKC}=90^o$
$\to HDCK$ nội tiếp
b.Ta có :
$HKDC$ nội tiếp
$\to \widehat{BHD}=\widehat{BCK}=\widehat{BCA}=\widehat{BNA}=\widehat{BNH}$
$\to \Delta BHN$ cân tại B
Mà $BD\perp HN\to DH=DN\to D$ là trung điểm HN
Ta có : $BC\perp HN=D, D$ là trung điểm HN
$\to BC$ là trung trực của HN
c.Ta có : $\widehat{HKC}=90^o$
$\to HKCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$
Gọi I là trung điểm HC$\to (I,IK)$ là đường tròn ngoại tiếp $HKCD$
$\to (I,IK)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta CKD$
Do H là trực tâm $\Delta ABC\to CH\perp AB\to \widehat{HCK}=\widehat{ABK}(+\widehat{BAC}=90^o)$
Mà $\widehat{AKB}=\widehat{HKC}=90^o$
$\to \Delta AKB\sim\Delta HKC(g.g)$
Vì M là trung điểm AB, I là trung điểm HC
$\to \Delta MKB\sim\Delta IKC$
$\to \widehat{MKB}=\widehat{IKC}$
$\to \widehat{MKB}+\widehat{BKI}=\widehat{IKC}+\widehat{BKI}$
$\to \widehat{MKI}=\widehat{HKC}$
$\to \widehat{MKI}=90^o$
$\to MK\perp KI$
$\to MK$ là tiếp tuyến của (I,KI)
$\to MK$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta CDK$
d.Ta có :
$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^o$
$\to \widehat{BHD}=\widehat{ACD}$ do $HKCD$ nội tiếp
$\to \Delta BDH\sim\Delta ADC(g.g)$
$\to \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DH}{DC}$
$\to DH.DA=BD.DC\le \dfrac14(BD+DC)^2=\dfrac14BC^2$
Dấu = xảy ra khi $BD=DC\to D$ là trung điểm BC
$\to A$ nằm chính giữa cung BC lớn
