a) Ta có BNBN và CPCP là đường trung tuyến của ΔABCΔABC
⇒N⇒N và PP lần lượt là trung điểm cạnh ABAB và ACAC
⇒PN⇒PN là đường trung bình ΔABCΔABC
⇒PN∥BC⇒PN∥BC hay PN∥CFPN∥CF
Mà NF∥CPNF∥CP (cách dựng)
⇒CPNF⇒CPNF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)
b) Ta có: FD∥BNFD∥BN (cách dựng)
NF∥BDNF∥BD (vì cùng ∥PC∥PC)
⇒BDFN⇒BDFN là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối diện song song)
c) Do CPNFCPNF là hình bình hành
⇒NF∥=PC⇒NF∥=PC (1)
Do BDFNBDFN là hình bình hành
⇒NF∥=BD⇒NF∥=BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra PC∥=BDPC∥=BD
⇒BPCD⇒BPCD là hình bình hành
⇒M⇒M là trung điểm của BCBC thì MM cũng là trung điểm của PDPD
⇒P,M,D⇒P,M,D thẳng hàng
Mà PM∥ACPM∥AC (do PMPM là đường trung bình ΔABCΔABC)
⇒PD∥NC⇒PD∥NC
⇒PNCD⇒PNCD là hình thang
d) Ta có PM=ANPM=AN (vì PMPM là đường trung bình ΔABCΔABC, PM=12AC=ANPM=12AC=AN)
mà PM=MDPM=MD
⇒AN=MD⇒AN=MD và An∥MDAn∥MD (vì PD∥NCPD∥NC)
⇒ANDM⇒ANDM là hình bình hành
⇒AM=DN⇒AM=DN (đpcm)
e) Để PNCDPNCD là hình thang cân thì PC=DNPC=DN
⇒PC=AM⇒PC=AM
⇒ΔABC⇒ΔABC cân đỉnh BB.
