(P): $y=x^2$
(d): $y=5x-m+1$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
$x^2=5x-m+1$
$⇔x^2-5x+m-1=0$ (1)
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
$⇔$ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$\Delta=(-5)^2-4.1(m-1)=25-4m+4=29-4m$
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$⇔\Delta>0$
$⇔29-4m>0$
$⇔m<\dfrac{29}{4}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=5\,\,(2)\\x_1.x_2=m-1\,\,(3)\end{cases}$
$2x_1=\sqrt{x_2}$
$⇔2x_1-\sqrt{x_2}=0$ (4)
Kết hợp phương trình (2) và (4) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}x_1+x_2=5\\2x_1-\sqrt{x_2}=0\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=1\\x_2=4\end{cases}$
Thay $x_1=1;x_2=4$ vào phương trình (3) ta được:
$1.4=m-1$
$⇔m-1=4$
$⇔m=5$ (thỏa mãn điều kiện $m<\dfrac{29}{4}$)
Vậy với $m=5$ thì (d): $y=5x-m+1$ cắt (P): $y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ thỏa mãn $2x_1=\sqrt{x_2}$.
