Đáp án:
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 16\]
Giải thích các bước giải:
Tâm \(I\) của đường tròn nằm trên đường thẳng \(d:\,\,\,2x + y + 3 = 0\) nên:
\(2{x_I} + {y_I} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = a\\
{y_I} = - 2a - 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {a; - 2a - 3} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
R = IA = IB\\
I\left( {a;\,\, - 2a - 3} \right);\,\,\,A\left( { - 1;3} \right);\,\,\,B\left( {3; - 1} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AI} = \left( {a + 1;\,\, - 2a - 6} \right)\\
\overrightarrow {BI} = \left( {a - 3;\,\, - 2a - 2} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2a - 6} \right)}^2}} \\
BI = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 2a - 2} \right)}^2}}
\end{array} \right.\\
AI = BI\\
\Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {2a + 6} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {2a + 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + 4{a^2} + 24a + 36 = {a^2} - 6a + 9 + 4{a^2} + 8a + 4\\
\Leftrightarrow 24a = - 24\\
\Leftrightarrow a = - 1\\
\Rightarrow I\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\\
\Rightarrow R = IA = IB = 4
\end{array}\)
Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn là:
\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 16\]
