Đáp án: $m ≤ - 1$
Giải thích các bước giải:
$x² + 2(3 - m)x + 1 - 4\sqrt[]{2x³ + 2x} ≥ 0 (*)$
@ Khi $x = 0$ thì $(*)$ nghiệm đúng với $∀m$
@ Xét $x > 0$ nhân 2 vế của $(*)$ cho $\frac{2}{x} > 0$ ta có BPT tương đương:
$2(x + \frac{1}{x}) - 8\sqrt[]{2(x + \frac{1}{x})} ≥ 4(m - 3)$
Đặt $t = \sqrt[]{2(x + \frac{1}{x})} ≥ \sqrt[]{2.2} = 2 ⇒ t² = 2(x + \frac{1}{x})$ thay vào:
$t² - 8t ≥ 4m - 12 ⇔ (t - 4)² ≥ 4(m + 1) (*)$
$Min(t - 4)² = 0 ⇔ t = 4 $
Để $(*)$ nghiệm đúng với $∀t ≥ 2$ thì :
$ 4(m + 1) ≤ Min(t - 4)² = 0 ⇔ m ≤ - 1$
