Đáp án:
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol
- Bước 2: Giải phương trình vừa lập ở trên, đây là phương trình bậc 2 các bạn có thể giải theo nhiều cách khác nhau.
- Bước 3: Kết luận số giao điểm dựa vào số nghiệm của phương trình trên
Giải thích các bước giải:
−14x2=12x−3
⇔−x2=2x−12
⇔x2+2x−12=0
⇔x=−1+13−−√ hoặc x=−1−13−−√
Với x=−1+13−−√ ta có y=12.(−1+13−−√)−3=−7+13−−√2
Với x=−1−13−−√ ta có y=12.(−1−13−−√)−3=−7+13−−√2
Vậy có 2 giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:
A(−1+13−−√;−7+13−−√2) và B(−1−13−−√;−7+13−−√2)
Bài tập 2: Cho hàm số y=12x2 có đồ thị (P).
a. Chứng minh đường thẳng d: y=2x−2 luôn tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
b. Tìm m để đường thẳng d': y=3mx−2 luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Hướng dẫn:
a. Bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng luôn tiếp xúc với parabol, tức là đường thẳng d là tiếp tuyến tuyến của parabol hay số giao điểm của d và (P) chỉ là 1 giao điểm. Từ đây chúng ta cần chứng minh phương trình bậc 2 lập được có nghiệm duy nhất.
Phương trình hoành độ giao điểm của d và parabol (P) là:
12x2=2x−2
⇔x2−4x+4=0
⇔(x−2)2=0
⇔x=2
Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất. Vậy d luôn tiếp xúc với (P).
Với x=2 ta có y=2.2−2=2. Vậy tọa độ giao điểm của d và (P) là: A(2;2)
b. Để chứng minh đường thẳng d' và parabol luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì phương trình bậc 2 lập được phải có 2 nghiệm phân biệt. Từ đây chúng ta xét điều kiện của Δ hoặc Δ′
Phương trình hoành độ giao điểm của d' và parabol là:
12x2=3mx−2
⇔x2−6mx+4=0 (1)
Để d' và (P) có hai giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
⇔Δ′>0
⇔9m2−4>0
⇔(3m−2)(3m+2)>0
⇔m<−23 hoặc m>23
Vậy với m<−23 hoặc m>23 thì đường thẳng d' luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
Chú ý: Với ý (b) của bài 2 nếu bài toán có thay đổi yêu cầu một chút như: tìm m để đường thẳng tiếp xúc với parabol hoặc tìm m để đường thẳng và parabol không có giao điểm thì các bạn làm tương tự nhé. Tức là các bạn chỉ cần xét điều kiện có nghiệm duy nhất hay điều kiện vô nghiệm của phương trình là ok.
