Ta có $\frac{1}{5}$+ $\frac{1}{13}$ +$\frac{1}{25}$ +$\frac{1}{37}$+$\frac{1}{61}$ +$\frac{1}{77}$+ $\frac{1}{113}$
⇒S=$\frac{1}{5}$+ S1($\frac{1}{13}$ +$\frac{1}{25}$ +$\frac{1}{37}$)+S2($\frac{1}{61}$ +$\frac{1}{77}$+ $\frac{1}{113}$ )
Xét S1:$\frac{1}{13}$<$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{25}$<$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{37}$<$\frac{1}{12}$
⇒S1<3.$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$
Xét S2:$\frac{1}{61}$<$\frac{1}{60}$
$\frac{1}{77}$<$\frac{1}{60}$
$\frac{1}{113}$<$\frac{1}{60}$
⇒S2<3.$\frac{1}{60}$=$\frac{1}{20}$
⇒S=$\frac{1}{5}$+S1+S2<$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{20}=$$\frac{1}{2}$
⇒S<$\frac{1}{2}$
