Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số $: a + 1; b + 1; c + 1 > 0$
$(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) ≥ 3\sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(c + 1)} (1)$
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số $: \frac{1}{a + 1}; \frac{1}{b + 1};\frac{1}{c + 1} > 0$
$\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}≥ 3\sqrt[3]{\frac{1}{a + 1}.\frac{1}{b + 1}.\frac{1}{c + 1}} (2)$
Lấy $(1).(2)$ và do :
$a + b + c ≤ 3 ⇒ (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) ≤ 6$ nên:
$[(a + 1) + (b + 1) + (c + 1)].[\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}] ≥ 9$
$⇒ \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1} ≥ \frac{9}{(a + 1) + (b + 1) + (c + 1)} ≥\frac{9}{6} = \frac{3}{2} $
Vậy $GTNN$ của $(\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}) = \frac{3}{2}$
xảy ra khi $a = b = c = 1$
