Đáp án:

a)
$ 2x-5y-9=0$
b)
$(x-2)^2+(y+1)^2=1$
c)
$H\left ( \dfrac{19}{7};\dfrac{-5}{7} \right )$

Giải thích các bước giải:

a)
$\overrightarrow{BC}=(2;-5)$
Vì đường thẳng $d\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{BC}=(2;-5)$
Phương trình đường thẳng d đi qua $A(2;-1)$ và nhận $\overrightarrow{n_d}=(2;-5)$ làm vetco pháp tuyến có dạng
$2(x-2)-5(y+1)=0\\
\Leftrightarrow 2x-4-5y-5=0\\
\Leftrightarrow 2x-5y-9=0$
b)
$R=d(A,\Delta )=\dfrac{|2-2.(-1)+1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=1$
Phương trình đường tròn có dạng
$(x-2)^2+(y+1)^2=1$
c)
$\overrightarrow{AC}=(-1;-1)=-(1;1)$
Gọi đường thẳng d' đi qua $B(-1;3)$ và vuông góc với AC
Do $d'\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{n_{d'}}=\overrightarrow{AC}=(1;1)$
Phương trình đường thẳng d' đi qua $B(-1;3)$ và nhận $\overrightarrow{n_{d'}}=(1;1)$ làm vecto pháp tuyến có dạng
$1(x+1)+1(y-3)=0\\
\Leftrightarrow x+1+y-3=0\\
\Leftrightarrow x+y-2=0$
H là trực tâm của $\Delta ABC$ nên $H=d\cap d'$
Ta có hệ phương trình
${\left\{\begin{aligned}2x-5y-9=0\\x+y-2=0 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}2x-5y=9\\x+y=2 \end{aligned}\right.}\\
\Leftrightarrow {\left\{\begin{aligned}x=\dfrac{19}{7}\\y=\dfrac{-5}{7} \end{aligned}\right.}\\
\Rightarrow H\left ( \dfrac{19}{7};\dfrac{-5}{7} \right )$