Đáp án:
\[{\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)_{\min }} = 15 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Phương trình đã cho có 2 nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 6m} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 + 6m \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 4 \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 3 \ge 0,\,\,\,\forall m
\end{array}\)
Do đó, theo Vi - et, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)\\
{x_1}{x_2} = - 6m
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
M = {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2{x_1}{x_2}\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\
= {\left( {2\left( {m - 2} \right)} \right)^2} - 2.\left( { - 6m} \right)\\
= 4\left( {{m^2} - 4m + 4} \right) + 12m\\
= 4{m^2} - 4m + 16\\
= \left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) + 15\\
= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 15 \ge 15,\,\,\,\,\forall m
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \({\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)_{\min }} = 15 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)
