Đặt $P=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2019^2}$
$⇒P<\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2018.2019}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}<\frac{1}{2}$
Vậy $P<\frac{1}{2}$.