Giải thích các bước giải:
Câu 3:
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
3x - y = 2m - 1\\
x + 2y = 3m + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m\\
y = m + 1
\end{array} \right.$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} + {(m + 1)^2} = 10\\
\Leftrightarrow 2{m^2} + 2m - 9 = 0\\
\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {19} }}{2}
\end{array}$
Vậy $m = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {19} }}{2}$
Câu 4:
a)
+Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên ta có:
$\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$(Do tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB$ ta có:
$\widehat A$ chung và $\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$
$\to \Delta ABE \sim \Delta ADB$(góc-góc)
$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\to AE.AD=AB^2$(1)
+Do AB,AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại B,C nên ta có:
$OB\perp AB\to\widehat{OBA}=90^o$ và $AB=AC\to OA$ là trung trực của BC$\to OA\perp BC=H\to \widehat{AHB}=90^o$
Xét $\Delta ABO$ và $\Delta AHB$ ta có:
$\widehat A$ chung và $\widehat{ABO}=\widehat{AHB}=90^o$
$\to \Delta ABO \sim \Delta AHB$(góc-góc)
$\to \dfrac{AB}{AH}=\dfrac{AO}{AB}\to AH.AO=AB^2$(2)
Từ (1),(2) $\to$ $AE.AD=AH.AO=AB^2$
b) Ta có:
Do CD là đường kính của (O) nên $\widehat{DEC}=\widehat{CBD}=90^o$
Xét tứ giác AEHC có:
$\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o$
$\to$ AEHC là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{HEC}=\widehat{HAC}=\widehat{HCD}=\widehat{BED}$
Mặt khác: $BD\perp AH$(Vì$AH,BD$ cùng vuông góc với $AO$ $\to \widehat{HCE}=\widehat{HAE}=\widehat{EDB}$
Xét tam giác EHC và tam giác EBD ta có:
$\widehat{HEC}=\widehat{BED}$ và $\widehat{HCE}=\widehat{BDE}$
$\to \Delta EHC=\Delta EBD$(g-g)
$\to \widehat{BED}=\widehat{HEC}\to \widehat{BEH}=\widehat{CED}=90^o\to HE \perp BF$
c) Xét tam giác AEF và tam giác BAF ta có:
Góc $F$ chung và $\widehat{EAF}=\widehat{ABF}$(cùng bằng $\widehat{ADB}$)
$\to \Delta AEF \sim \Delta BAF$(g-g)$\to \dfrac{AF}{BF}=\dfrac{EF}{AF}\to AF^2=FE.FB$
Lại có:
Do tính chất tiếp tuyến của đường tròn ta có: AB=AC mà OB=OC nên AO là trung trực của BC $\to AO\perp BC =H\to \widehat{BHF}=90^o$
Xét tam giác BHF vuông tại H và: $HE\perp BF=E$ khi đó ta có: $HF^2=FE.FB$ và $HB^2=BE.BF$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Như vậy: $AF^2=HF^2=FE.FB$.
Khi đó:
$\dfrac{HC^2}{AF^2-EF^2}=\dfrac{HB^2}{AF^2-EF^2}=\dfrac{BE.BF}{FE.FB-EF^2}=\dfrac{BE.BF}{EF(BF-EF)}=\dfrac{BE.BF}{EF.BE}=\dfrac{BF}{EF}=1+\dfrac{BE}{EF}$(1)
Mà ta có:
$BD//AF$(câu b) nên $\dfrac{BE}{EF}=\dfrac{DE}{AE}$(2)
Từ (1),(2) ta có:
$\dfrac{HC^2}{AF^2-EF^2}=1+\dfrac{DE}{AE}\to \dfrac{HC^2}{AF^2-EF^2}-\dfrac{DE}{AE}=1$(đpcm)
