a,
Cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao theo thứ tự trên ta được các tổng này tỉ lệ với 3:4:5
$⇔(x+y):(y+z):(z+x)=3:4:5$
$⇔\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}$
$⇔\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{x+y-(y+z)-(z+x)}{3-4-5}=\dfrac{(y+z)-(x+y)-(z+x)}{4-3-5}=\dfrac{(z+x)-(x+y)-(y+z)}{5-3-4}$(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
Hay $\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{-2z}{-6}=\dfrac{-2x}{-4}=\dfrac{-2y}{-2}$
⇒$\dfrac{x+y}{3}=\dfrac{y+z}{4}=\dfrac{z+x}{5}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}$
b,Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác ABC lần lượt là $a,b,c$ tương ứng với 3 đường cao $x,y,z$
Ta có: $\dfrac{z}{3}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{1}$
$⇒\dfrac{\dfrac{1}{2}cz}{2.c.3}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.a.x}{2.a.2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.b.y}{2.b.1}$
Mà $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}cz=\dfrac{1}{2}.a.x=\dfrac{1}{2}.b.y$
$⇒\dfrac{S_{ABC}}{2.c.3}=\dfrac{S_{ABC}}{2.a.2}=\dfrac{S_{ABC}}{2.b.1}$
$⇔S_{ABC}.\dfrac{1}{2.c.3}=S_{ABC}.\dfrac{1}{2.a.2}=S_{ABC}.\dfrac{1}{2.b.1}$
$⇔\dfrac{1}{2.c.3}=\dfrac{1}{2.a.2}=\dfrac{1}{2.b.1}$
Hay $\dfrac{1}{6c}=\dfrac{1}{4a}=\dfrac{1}{2b}$
$⇒6c=4a=2b$
