a) Xét ∆ABC cân tại A có
AH là đường cao ứng với cạnh BC (gt)
Suy ra AH cũng là trung tuyến ứng với cạnh BC
Hay BH = HC
b) Ta có BH = HC = BC/2 = 3cm
Áp dụng định lý Pytago vào ∆BAH vuông tại H, ta có:
AB ^2 = AH^2 + BH^2 = 6^2 + 3^2 = 45
Vậy AH = 3căn5 (cm)
c) Xét tứ giác ABEC có
AH = HE (gt)
BH = HC (câu a)
BC vuông AH (gt)
Suy ra tứ giác ABEC là hình thoi
Suy ra AC = CE (1)
Suy góc ACB = góc BCE
Mà góc ACB = góc CDE (đồng vị)
Góc BCE = góc CED (so le trong)
Nên góc CDE = góc CED
Hay ∆CED cân tại C
Suy ta CE = CD (2)
(1)(2) suy ra CA = CE = CD
d) ∆CED cân tại C có
CI là trung tuyến
Nên CI cũng là đường cao
Hay CI vuông ED
Mà AE vuông ED (ED //BC, AE vuông BC)
Nên AE // CI (cùng vuông ED)
Xét tứ giác EHCI có
EH // CI
Góc HEI = góc CIE = 90 độ
Nên EHCI là hình chữ nhật
Ta có CE và HI là hai đường chéo của hình chữ nhật EHCI và CE cắt HI tại O
Suy ra OC = OE = OH = OI
Xét ∆ACE có
CH là trung tuyến ứng với cạnh AE (HA = HE)
AO là trung tuyến ứng với cạnh CE (OE = OC)
AO cắt CH tại G
Suy ra G là trọng tâm của ∆ACE
Suy ra CG = 2CH/3
Hay GH = CH/3
Mà CH = BH nên GH = BH/3 hay 3HG = BH
BG = BH + HG = 3HG + HG = 4HG
