Vì f(x) có giá trị nguyên với với mọi x thuộc Z nên ta có:
+) f(0)=a.0³+b.0²+c.0+d -> f(0)=d
=> d thuộc Z (1)
+) f(1)=a.1³+b.1²+c.1²+d=a+b+c+d
Từ (1) => a+b+c thuộc Z (2)
+) f(-1)=a.(-1)³+b.(-1)²+c.(-1)+d=-a+b-c+d
Từ (1) => -a+b-c thuộc Z (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
(a+b+c)+(-a+b-c) = a+b+c-a+b-c
= (a-a)+(b+b)+(c-c) = 2b
-> 2b thuộc Z (4)
(a+b+c)-(-a+b-c) = a+b+c+a-b+c
= (a+a)+(b-b)+(c+c) = 2a+2c
-> 2a+2c thuộc Z (5)
Ta có:
f(2)=a.2³+b.2²+c.2+d = 8a+4b+2c+d
= 6a+4b+2a+2c+d
Mà: 4b thuộc Z (do 2b thuộc Z; từ (4))
2a+2c thuộc Z (từ (5)); d thuộc Z (từ (1))
=> 6a thuộc Z (6)
Vậy: từ (1),(4) và (6) suy ra:
d, 2b, 6a đều là các số nguyên
