Đáp án:
Ở dưới nha, nhớ vote 5* nha bn
Giải thích các bước giải:
a) $P=$$\sqrt{2x+yz}+$$\sqrt{2y+xz}+$ $\sqrt{2z+xy}$
Vì $x,y,z≥0$ nên áp dụng bđt cauchy ta đc :
$\sqrt{(2x+yz).1}≤$ $\frac{2x+yz+1}{2}$
$\sqrt{(2y+xz).1}≤$ $\frac{2y+xz+1}{2}$
$\sqrt{(2z+xy).1}≤$ $\frac{2z+xy+1}{2}$
Cộng vế theo vế ta đc :
⇒$P≤$$\frac{2x+2y+2z+xy+xz+yz+3}{2}$
⇔$P≤$$\frac{2(x+y+z)+3+xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) }{2}$
⇔$P≤\frac{2(x+y+z)+3+xyz(\frac{x+y+z}{xyz})}{2}$
Vì x+y+z=2 nên :
⇒$P≤\frac{7+\frac{2xyz}{xyz}}{2}$
⇔$P≤$$\frac{9}{2}$
Vậy $MaxP=$$\frac{9}{2}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$
b) Vì $x,y,z≥0$ nên áp dụng bđt cauchy cho 3 số ta đc :
$x+y+z≥3\sqrt[3]{xyz}$
$\frac{1}{x}+$ $\frac{1}{y}+$ $\frac{1}{z}≥3$ $\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$
Nhân vế theo vế ta đc :
⇒$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})≥9$
⇔$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}≥\frac{9}{x+y+z}(đpcm)$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$
c)Bđt trên tương đương :
⇒$\frac{1}{4x}+$ $\frac{1}{4y}≥$ $\frac{1}{x+y}$
⇔$\frac{x+y}{4xy}≥$ $\frac{1}{x+y}$
⇔$\frac{x+y}{4xy}-$$\frac{1}{x+y}≥0$
⇔$\frac{(x+y)^2-4xy}{4xy(x+y)}≥0$
⇔$\frac{(x-y)^2}{4xy(x+y)}≥0$
Vì x,y là các số ko âm nên ta có $\left \{ {{(x-y)^2≥0} \atop {4xy(x+y)≥0}} \right.$
⇒$\frac{(x-y)^2}{4xy(x+y)}≥0$(luôn đúng)
⇒$\frac{1}{x+y}≤$ $\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(đpcm)$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y$
