Đáp án: $\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $H$ là trung điểm $AB\to SH\perp AB$ vì $\Delta SAB$ đều
Mà $(SAB)\perp (ABCD)\to SH\perp ABCD\to SH\perp BC$
Lại có $BC\perp AB\to BC\perp SAB$
Kẻ $FH\perp SB\to BC\perp FH$
$\to FH\perp SBC$
Gọi $DH\cap BC=E, K$ là điểm đối xứng với $E$ qua $F$
Ta có $AD/BC\to \dfrac{HD}{HE}=\dfrac{HA}{HB}=1\to HE=HD\to H$ là trung điểm $DE$
Mà $F$ là trung diểm $EK\to FH$ là đường trung bình $\Delta EDK$
$\to DK//FH$
Lại có $FH\perp SBC$
$\to DK\perp SBC$
$\to \widehat{SD,SBC}=\widehat{DSK}$
Ta có $AH=HB=\dfrac12AB=\dfrac12a$
$\to DH=\sqrt{AH^2+AD^2}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Vì $\Delta SAB$ đều cạnh $AB=a,SH\perp AB\to SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\to SD=\sqrt{SH^2+HD^2}=2a$
Ta có:
$\dfrac{1}{FH^2}=\dfrac{1}{HS^2}+\dfrac{1}{HB^2}=\dfrac{16}{3}\to FH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\to DK=2FH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có $DK\perp SBC\to DK\perp EF$
$\to \widehat{SKD}=90^o$
$\to \sin\widehat{KSD}=\dfrac{DK}{SD}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
$\to \cos\widehat{KSD}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
$\to \cos(\widehat{SD,(SBC)})=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$
