Xét ptrinh hoành độ giao điểm
$\dfrac{1}{2}x^2 = \dfrac{mx-1}{2m^2-4m + 1}$
$<-> (2m^2 - 4m + 1)x^2 = 2mx - 2$
$<-> (2m^2 - 4m + 1)x^2 - 2mx + 2 = 0$
Để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm thì ptrinh trên phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là
$\Delta' > 0$
$<-> m^2 - 2(2m^2 - 4m + 1) > 0$
$<-> -3m^2 + 8m - 2 > 0$
$<-> 3m^2 - 8m + 2 < 0$
$<-> \dfrac{4 - \sqrt{10}}{3} < m < \dfrac{4 + \sqrt{10}}{3}$
Ta có
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = x_1 + x_2$
$<-> \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = x_1 + x_2$
$<-> (x_1 + x_2) \left( \dfrac{1}{x_1 x_2} - 1 \right) = 0$
Vậy $x_1 + x_2 = 0$ hoặc $x_1 x_2 = 1$
TH1: $x_1 + x_2 = 0$
Áp dụng Viet ta có
$\dfrac{2m}{2m^2 - 4m + 1} = 0$
$<-> 2m = 0$
$<-> m = 0$ (loại)
TH2: $x_1 x_2 = 1$
Áp dụng Viet ta có
$\dfrac{2}{2m^2 - 4m + 1} = 1$
$<-> 2m^2 - 4m + 1 = 2
$<-> 2m^2 - 4m - 1 = 0$
$<-> m = \dfrac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$
Vậy $m = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}$.
