Ta có $O$ là giao 2 đường trung trực của $AB;AC$
$⇒O$ là giao 3 đường trung trực $ΔABC$
$⇒OA=OB=OC$
$⇒ΔOAB;ΔOAC$ cân tại $A$
$⇒\widehat{OBA}=\widehat{OAB}(1);\widehat{OAC}=\widehat{OCA}(2)$
$M∈$ đường trung trực của $AB⇒MA=MB⇒ΔMAB$ cân tại $M⇒\widehat{MAB}=\widehat{MBA}(3)$
$N∈$ đường trung trực của $AC⇒NA=NC⇒ΔNAC$ cân tại $N⇒\widehat{NAC}=\widehat{NCA}(4)$
Từ $(1);(3)⇒\widehat{OBA}-\widehat{MBA}=\widehat{OAB}-\widehat{MAB}$
Hay $\widehat{OBM}=\widehat{OAM}=\widehat{OBC}(5)$
Chứng minh tương tự với $(2)(4)$ ta có: $\widehat{OAC}-\widehat{NAC}=\widehat{OCA}-\widehat{NCA}$
Hay $\widehat{OAN}=\widehat{OCN}=\widehat{OCB}(6)$
Mà $OB=OC(cmt)⇒\widehat{OBC}=\widehat{OCB}(7)$
Từ $(5)(6)(7)⇒\widehat{OBM}=\widehat{OAN}$
Hay $AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$
