a,

$\Delta$ ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=90^o-\widehat{HCA}$

$\Delta$ HAC vuông tại H có $\widehat{HAC}=90^o-\widehat{HCA}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ 

b,

$\Delta$ ABD và $\Delta$ HBE có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHE}=90^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{HBE}$

$\Rightarrow \Delta$ ABD $\backsim$ $\Delta$ HBE (g.g)

$\Rightarrow \frac{BD}{AD}=\frac{BE}{EH}$

$\Leftrightarrow BD.HE=BE.AD$

c,

$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$ 

$\Delta$ BHA và $\Delta$ BAC có:

$\widehat{B}$ chung 

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^o$ 

$\Rightarrow \Delta$ BHA $\backsim$ $\Delta$ BAC (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AH=\frac{3.4}{5}=2,4cm$

$\Rightarrow BH=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8cm$ 

$\Delta$ ABH, BE phân giác.

$\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{BH}{EH}=\frac{AB+BH}{AE+EH}=\frac{3+1,8}{2,4}=2$

$\Rightarrow AE=\frac{AB}{2}=1,5cm$

a.ΔABC vuông tại A có :

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o(1)$

ΔAHC vuông tại H có :

$\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^o(2)$

Từ (1) và (2) :

$⇒\widehat{ABC}=\widehat{HAC} ( Cùng phụ với \widehat{ACB} )$

b.Xét ΔABD và ΔHBE có :

$\widehat{BAD}=\widehat{BHE}=90^o$

$\widehat{HBE}=\widehat{DBA} $

$⇒ΔABD\sim ΔHBE (g.g)$

$⇒\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AD}{HE}$

$⇒BD.HE=BE.AD(đpcm)$

c.ΔABC vuông tại A 

$⇒BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$

Xét ΔAHB và ΔCAB có :

$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o$

$\widehat{ABC} : chung $

$⇒ΔAHB\sim ΔCAB (g.g)$

$⇒\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$

$⇒AH=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4cm$

ΔHAB vuông tại H :

$⇒BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8cm$

ΔHAB có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}$

Theo TCCDTSBN :

$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}=\dfrac{AE+EH}{AB+BH}=\dfrac{AH}{AB+BH}=\dfrac{2,4}{3+1,8}=\dfrac{1}{2}$

$⇒AE=\dfrac{1}{2}.AB=\dfrac{1}{2}.3=1,5cm$