Đặt m²=n²+83n+2009 (m∈N)
⇔ 4m²=4n²+332n+8036
⇔ 4m²=((2n)²+2.2n.83+6889)+1147
⇔ 4m²=(2n+83)²+1147
⇔ 4m²-(2n+83)²=1147
⇔ (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147
Do m,n∈N ⇒ 2m+2n+83>0; 2m+2n+83∈N
Mà (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147 ⇒ 2m-2n-87>0
Mà m,n∈N ⇒ 2m-2n-87∈N
Ta có: (2m+2n+83)-(2m-2n-83)=4n+166≥166>0
Mà 1147=1.1147=31.37
⇒ Chỉ xảy ra duy nhất 1 trường hợp: 2m+2n+83=1147 (1) và 2m-2n-83=1
Lấy (1) trừ (2), vế theo vế, ta được:
(2m+2n+83)-(2m-2n-83)=1147-1
⇔ 4n+166=1146 ⇔ n=245 (thoả mãn)
Thay n vào (1) ta được:
2m+2.245+83=1147 ⇔ 2m+573=1147 ⇔ m=287 (thoả mãn)
Thử lại: 245²+83.245+2009=82369=287² (thoả mãn)
Vậy n=245
