Đáp án: $A_{max}=144$ tại $a=b=\sqrt[]{8}$
Giải thích các bước giải:
1) Do $a,b>0$ $\to 9a > 0; 9b>0; a+8b > 0; b+8a > 0 $
Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương dạng $\sqrt[]{ab} ≤ \dfrac{a+b}{2}$ ta được :
$\sqrt[]{9b.(a+8b)} ≤ \dfrac{9b+a+8b}{2} = \dfrac{a+17b}{2}$
$⇒a\sqrt[]{9b.(a+8b)} ≤ \dfrac{a^2+17ab}{2}$
Tương tự ta có : $\sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{9a+b+8a}{2} = \dfrac{b+17a}{2}$
$⇒b\sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{b^2+17ab}{2}$
Khi đó $A = \sqrt[]{9b.(a+8b)} + \sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{a^2+b^2+34ab}{2}$
Mặt khác ta có : $ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4} ≤ \dfrac{2.(a^2+b^2)}{4} = \dfrac{a^2+b^2}{2}$
Nên : $A ≤ \dfrac{a^2+b^2+34.\dfrac{a^2+b^2}{2}}{2} = \dfrac{18.(a^2+b^2)}{2} $
$≤ \dfrac{18.16}{2} = 144$
Dấu "=" xảy ra $⇔\left\{ \begin{array}{l}9b=a+8b\\9a=b+8a\\a=b\\a^2+b^2=16\\a,b>0\end{array} \right.$
$⇔ a=b=\sqrt[]{8}$
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $144$ tại $a=b=\sqrt[]{8}$
