x²-2(m+1)x+5-m=0
Để PT có nghiệm <=> Δ' ≥ 0
<=> (m+1)² - 5 + m ≥ 0
<=> m² + 2m + 1 -5 + m ≥ 0
<=> m² + 3m - 4 ≥ 0
<=> $\left \{ {{m<-4} \atop {m>1}} \right.$
Theo Vi-et ta có:
$\left \{ {{x_{1} + x_{2} = 2m+2} \atop {x_{1} . x_{2} =5-m}} \right.$ (1)
Vì phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng $\sqrt[]{30}$ nên ta có:
$x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ = 30
<=> ($x_{1}$ + $x_{2}$)² - 2$x_{1}$$x_{2}$ = 30 (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
(2m+2)² - 2.(5-m) = 30
<=> 4m² + 8m + 4 - 10 + 2m = 30
<=> 4m² + 10m - 36 = 0
<=> \(\left[ \begin{array}{l}m=2(t/m)\\m=\frac{-9}{2}(t/m)\end{array} \right.\)
Vậy m ∈ {$\frac{-9}{2}$ ; 2}
