Đáp án:
$B(-2;3), D(2;0)$
Giải thích các bước giải:
Gọi $C(x,y)$. Gọi E là trung điểm của AC và BD.
+Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {GC} = \left( {x - \dfrac{4}{3};y - 3} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {GE} = \dfrac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {GC} = \left( {\dfrac{{ - x}}{2} + \dfrac{2}{3};\dfrac{{ - y}}{2} + \dfrac{3}{2}} \right) \Rightarrow E\left( {\dfrac{{ - x}}{2} + 2;\dfrac{{ - y}}{2} + \dfrac{9}{2}} \right)\\
\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GC} = \left( { - 2{\rm{x}} + \dfrac{8}{3}; - 2y + 6} \right) \Rightarrow A\left( { - 2{\rm{x}} + 4; - 2y + 3} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$
+Do M là trung điểm của AB $ \Rightarrow B\left( {2{\rm{x}} - 10;2y - 9} \right)$
Do E là trung điểm của BD $\Rightarrow D\left( { - 3{\rm{x}} + 14; - 3y + 18} \right)$
+Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {x - 10;y - 9} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {AH} = \left( { - 2{\rm{x}} + 4; - 2y + 10} \right)$
$\Rightarrow \dfrac{{x - 10}}{{ - 2x + 4}} = \dfrac{{y - 9}}{{ - 2y + 10}} \Leftrightarrow 1 - \dfrac{8}{{x - 2}} = 1 - \dfrac{4}{{y - 5}} \Leftrightarrow x = 2y - 8(1)$
+Tam giác AHB vuông tại H có M là trung điểm AB
$\begin{array}{l}
\Rightarrow BM = HM = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \\
\Leftrightarrow B{M^2} = 10\\
\Leftrightarrow {\left( {2{\rm{x}} - 7} \right)^2} + {\left( {2y - 9} \right)^2} = 10(2)
\end{array}$
Từ (1),(2) ta có hệ:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 8\\
{\left( {2{\rm{x}} - 7} \right)^2} + {\left( {2y - 9} \right)^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 8\\
{(4y - 23)^2} + {(2y - 9)^2} = 10
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 8\\
{y^2} - 11y + 30 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 8\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 5\\
y = 6
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 5;x = 2\\
y = 6;x = 4
\end{array} \right.
\end{array}$
+TH1: $(x;y)=(2;5)\to B(-6;1), D(8;3), A(0;-1)$ (Loại do $A \equiv H$)
+TH2: $(x;y)=(4;6)\to B(-2;3), D(2;0)$ (Chọn)
Vậy $B(-2;3), D(2;0)$
