Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Điều kiện $: 6 - x ≥ 0; x - 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 6$
Đặt $: t = x² - 10x + 27 = \sqrt[]{6 - x} + \sqrt[]{x - 4} > 0$
$ ⇔ t² = (6 - x) + (x - 4) + 2\sqrt[]{6 - x}.\sqrt[]{x - 4} $
$ = 2 + 2\sqrt[]{- x² + 10x - 24} = 2 + 2\sqrt[]{3 - t}$
$ ⇔ t² - 2 = 2\sqrt[]{3 - t} ⇒ t^{4} - 4t² + 4 = 4(3 - t)$
$ ⇔ t^{4} - 4t² + 4t - 8 = 0 ⇔ (t - 2)(t³ + 2t² + 4) = 0$
$ ⇔ t - 2 = 0 ⇔ t = 2 $ (vì $t > 0)$
$ ⇔ x² - 10x + 27 = 2 ⇔ (x - 5)² = 0$
$ ⇔ x = 5 (TM)$ là nghiệm duy nhất của $PT$
b)$(x + y)³ = xy(3x + 3y + 2) (1)$
$ ⇔ (x + y)(x + y)² = xy(3x + 3y + 2)$
$⇔(x + y)[(x - y)² + 4xy] = 2xy + 3xy(x + y)$
$ ⇔ (x + y)(x - y)² = xy[2 - (x + y)] (2)$
Lấy $(2):(1) ⇒ (\frac{x - y}{x + y})² = \frac{2 - (x + y)}{3x + 3y + 2} (3)$
Mặt khác đặt $ u = x + y; v = \sqrt[]{1 - xy} ≥ 0 ⇒ xy = 1 - v²$
Thay vào$(1) : u³ = (1 - v²)(3u + 2) ⇔ 1 - v² = \frac{u³}{3u + 2}$
$ ⇔ v² = 1 - \frac{u³}{3u + 2} = \frac{3u + 2 - u³}{3u + 2} = \frac{(u + 1)²(2 - u)}{3u + 2} $
$ = (x + y + 1)².\frac{2 - (x + y)}{3x + 3y + 2} = (x + y + 1)²(\frac{x - y}{x + y})²$ ( thay $(3)$ vào)
$⇔\sqrt[]{1 - xy} = |x + y + 1|.|\frac{x - y}{x + y}|$ là số hữu tỷ vì $x, y$ hữu tỷ (đpcm)
......................................
Câu a) còn cách đơn giản hơn:
Điều kiện $: 6 - x ≥ 0; x - 4 ≥ 0 ⇔ 4 ≤ x ≤ 6$
$ VT = x² - 10x + 27 = (x - 5)² + 2 ≥ 2$
Áp dụng BĐT $: a + b ≤ \sqrt[]{2(a² + b²)}$ cho vế phải :
$ VP = \sqrt[]{6 - x} + \sqrt[]{x - 4} ≤ \sqrt[]{2[(6 - x) - (x - 4)]} = 2$
$ ⇒ VT ≥ 2 ≥ VP ⇒ VT = VP = 2 $ thỏa mãn:
$ ⇔ (x - 5)² + 2 = 2 ⇔ (x - 5)² = 0$
$ ⇔ x = 5 (TM)$ là nghiệm duy nhất của $PT$
