Đáp án: a)$190$ b)$C_{16}^6{.2^{10}}.C_6^2{.3^4} + C_{16}^7{.2^9}.C_7^5{.3^2} + C_{16}^8{.2^8}.C_8^8{.3^0}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}{\left( { - 2} \right)^{10 - k}}\\
= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { - 2} \right)}^{10 - k}}} \left( {\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{x^{2m}}.{{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^{k - m}}} } \right)\\
= \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { - 2} \right)}^{10 - k}}} .\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m{x^{4m - 2k}}}
\end{array}$
Để tìm hệ số của $x^{16}$ thì: $m,k$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
4m - 2k = 16\\
0 \le m \le k\\
0 \le k \le 10
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
k = 8\\
m = 8
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k = 10\\
m = 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Như vậy: Hệ số của $x^{16}$ trong khai triển là: $C_{10}^8.{\left( { - 2} \right)^2}C_8^8 + C_{10}^{10}.{\left( { - 2} \right)^0}.C_{10}^9 = 190.$
b) Ta có;
$\begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} .{\left( {{x^2} + 3x} \right)^k}{.2^{16 - k}}\\
= \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.} {2^{16 - k}}.\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m} .{x^{2k}}.{\left( {3x} \right)^{k - m}}\\
= \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.} {2^{16 - k}}.\sum\limits_{m = 0}^k {C_k^m} {.3^{k - m}}{x^{3k - m}}
\end{array}$
Để tìm hệ số $x^{16}$ thì $m,k$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
3k - m = 16\\
0 \le m \le k\\
0 \le k \le 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
k = 6\\
m = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k = 7\\
m = 5
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
k = 8\\
m = 8
\end{array} \right.
\end{array} \right.$
Suy ra hệ số của $x^{16}$ trong khai triển là:
$C_{16}^6{.2^{10}}.C_6^2{.3^4} + C_{16}^7{.2^9}.C_7^5{.3^2} + C_{16}^8{.2^8}.C_8^8{.3^0}$
