a) Ta có: $Ax\perp AB$ $(gt)$ ⇒ $\widehat{EAB} = 90^{o}$
$EC$ là tiếp tuyến của $(O)$ $(gt)$ ⇒ $\widehat{ECO} = 90^{o}$
Xét tứ giác $AECO$ có:
$\widehat{EAB} + \widehat{ECO} = 180^{o}$
Do đó $AEO$ là tứ giác nội tiếp
Ta có: $EA$ và $EC$ là tiếp tuyến của $(O)$ $(gt)$
⇒ $EA = EC$
mà $OA = OC = R$
nên $OE$ là đường trung trực của $AC$
⇒ $OE$ là đường phân giác của $\widehat{COA}$
hay $\widehat{COE}=\frac{\widehat{COA}}{2}$
Chứng minh tương tự, ta được: $CF = BF$
và $\widehat{COF}=\frac{\widehat{COB}}{2}$
Ta lại có: $\widehat{COA} + \widehat{COB} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{COE} + \widehat{COF} = 90^{o}$
hay $OE\perp OF$
⇒ $ΔOEF$ vuông tại $O$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOEF$ vuông tại $O$, đường cao $OC$, ta được:
$EC.CF = OC^{2} = R^{2}$
mà $EC = AE$ và $CF = BF$ $(cmt)$
nên $AE.BF=R^{2}$
b) Do $OE$ là đường trung trực của $AC$
nên $OE\perp AC$ tại $M$
và $M$ là trung điểm $AC$
Xét $ΔHAC$ vuông tại $H$, có:
$HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$
⇒ $HM=MA=MC$
⇒ $ΔMAH$ cân tại $M$
Ta cũng được $ΔMHC$ cân tại $M$
⇒ $\widehat{MHC}=\widehat{MCH}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$ΔNCH$ cân tại $N$
⇒ $\widehat{NHC}=\widehat{NCH}$
Ta lại có: $\widehat{MCH} + \widehat{NCH} = \widehat{MCN} = 90^{o}$ ($\widehat{MCN}$ nhìn đường kính $AB$)
nên $\widehat{MHC} + \widehat{NHC} =90^{o}$
hay $MH\perp HN$
