Đáp án: a) $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{6}(k \in Z)$
b)
$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi (k\in Z)$ và $x = - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi (k\in Z)$
Giải thích các bước giải:
a) ĐKXĐ: $x \ne \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{\pi }{5}(k \in Z)} \right\}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\tan x.\tan 5x = 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}.\dfrac{{\sin 5x}}{{\cos 5x}} = 1\\
\Leftrightarrow \sin x.\sin 5x = \cos x.\cos 5x\\
\Leftrightarrow \cos 5x.\cos x - \sin 5x.\sin x = 0\\
\Leftrightarrow \cos (5x + x) = 0\\
\Leftrightarrow \cos 6x = 0\\
\Leftrightarrow 6x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi (k \in Z)\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{6}(k \in Z)
\end{array}$
Kết hợp với ĐKXĐ ta có: pt có hị nghiệm là: $$x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{6}(k \in Z)$$
Vậy pt có họ nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{6}(k \in Z)$
b)
$\begin{array}{l}
2\sin x - 5\cos x = 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }}\left( {2\sin x - 5\cos x} \right) = \dfrac{4}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }}.\sin x - \dfrac{5}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }}.\cos x = \dfrac{4}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}} }}\\
\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {29} }}.\sin x - \dfrac{5}{{\sqrt {29} }}.\cos x = \dfrac{4}{{\sqrt {29} }}
\end{array}$
Đặt $\sin \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt {29} }};\cos \alpha = \dfrac{5}{{\sqrt {29} }}\to \alpha=arccos\left(\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}\right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\sin \alpha .\sin x - \cos \alpha .\cos x = \dfrac{4}{{\sqrt {29} }}\\
\Leftrightarrow \cos \left( {x + \alpha } \right) = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \alpha = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi \\
x + \alpha = - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi \\
x = - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\
\end{array}$
Vậy phương trình có họ nghiệm là: $x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi (k\in Z)$ và $x = - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}} \right) - {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cos \left( {\dfrac{5}{{\sqrt {29} }}} \right) + k2\pi (k\in Z)$
