Bài 1:
a) $(\sqrt{7})^{2} = 7 = 3 + 4 = 3 + 2.2 = 3 + 2.\sqrt{4}$
$(1 + \sqrt{2})^{2} = 3 + 2.\sqrt{2}$
Vì $\sqrt{4} > \sqrt{2}$
nên $2.\sqrt{4} > 2.\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 3 + 2.\sqrt{4} > 3 + 2.\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{3 + 2.\sqrt{4}} > \sqrt{3 + 2.\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{7} > \sqrt{2} + 1$
$\Leftrightarrow \sqrt{7} - \sqrt{2} > 1$
b) Ta có: $(\sqrt{8} + \sqrt{5})^{2} = 13 + 2.\sqrt{40}$
$(\sqrt{7} + \sqrt{6})^{2} = 13 + 2.\sqrt{42}$
Do $\sqrt{42} > \sqrt{40}$
nên $2.\sqrt{42} > 2.\sqrt{40}$
$\Leftrightarrow 13 + 2.\sqrt{42} > 13 + 2.\sqrt{40}$
$\Leftrightarrow \sqrt{13 + 2.\sqrt{42}} > \sqrt{13 + 2.\sqrt{40}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{8} + \sqrt{5} > \sqrt{7} + \sqrt{6}$
Bài 2:
a) Ta có: $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ ($hiển$ $nhiên$)
b) Ta có: $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a + b})^{2} < (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}$
$\Leftrightarrow a + b < a + b + 2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow 0 < 2\sqrt{ab}$ ($luôn$ $đúng$)
d) Ta có: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ (câu a)
Tương tự: $a + c \geq 2\sqrt{ac}$
$b + c \geq 2\sqrt{bc}$
Cộng vế theo vế ta được:
$(a + b) + (a +c) + (b+ c) \geq 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac}+ 2\sqrt{bc}$
$\Leftrightarrow 2(a + b +c) \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac})$
$\Leftrightarrow a + b +c \geq \sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac}$ $(đpcm)$
e) Ta có: $\sqrt{\dfrac{a + b}{2}} \geq \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{\dfrac{a + b}{2}})^{2} \geq (\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2})^{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a + b}{2} \geq \dfrac{a + b + 2\sqrt{ab}}{4}$
$\Leftrightarrow 2a + 2b \geq a + b + 2\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow a + b - 2\sqrt{ab} \geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ ($luôn$ $đúng$)
