Đáp án:
$\widehat {MAD}=15^o$
Giải thích các bước giải:
Kẻ phân giác $BE$ của $\widehat {ABC}(E\in AC)$. Lấy $F$ trên cạnh $BC$ sao cho $BF=AB$
Ta có:$\widehat {BAC} = {180^o} - \widehat {ABC} - \widehat {ACB} = {135^o}$
$BE$ là phân giác $\widehat {ABC}$ hay $BE$ là phân giác $\widehat {ABF}$
$\Delta ABF $ cân ở B do $AB=BF$ suy ra $\widehat {{\rm{BAF}}} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ABF}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{30}^o}}}{2} = {75^o} \Rightarrow \widehat {FAE} = \widehat {BAC} - \widehat {{\rm{BAF}}} = {60^o}$và $\to BE$ là trung trực của $AF$$\to EA=EF$(1)
$\Delta EAF$ đều vì có $EA=EF;\widehat {FAE}=60^o$$\to AF=AE$(2)
Lại có:$\Delta ABE=\Delta FBE (c.g.c)$ ($BE$ chung, $BA=FA$, $\widehat{ABE}=\widehat{FBE}$) $\to \widehat{BFE}=\widehat{BAE}=\widehat{BAC}=135^o\to \widehat{MFE}=180^o-\widehat{BFE}=45^o$
Mà $\Delta EBC$ cân ở E (Do $\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=15^o$) $\to EM\perp BC\to EM\perp MF$
Suy ra $\Delta EMF$ vuông cân tại M $\to MF=ME$(3)
Từ (2),(3) $\to AM$ là trung trực đông thời là phân giác $\widehat {FAE}$$\to \widehat {MAC}=30^o$(*)
Lại có: $M$ là trung điểm $BC$ và $BF=CD(=AB)$ $\to M$ là trung điểm $DF$ $\to \Delta DEF$ cân tại $E$ (vì $EM$ vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ứng với $DF$)$\to ED=EF$(4)
Từ (3),(4)$\to ED=EA\to \Delta EAD$ cân ở $E$ $\to \widehat {EAD}=\widehat {EDA}=\dfrac{\widehat {DEC}}{2}=\dfrac{\widehat {FEB}}{2}=\dfrac{\widehat {AEB}}{2}=\dfrac{180^o-15^o-135^o}{2}=15^o$(**)
Từ (*),(**) $\to \widehat {MAD}=\widehat {MAC}-\widehat {EAD}=30^o-15^o=15^o$
Vậy $\widehat {MAD}=15^o$
