Bạn tự chứng minh công thức: $\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n(n+1)}$ (quy đồng vế trái)
Ta có: $\frac{1}{1!}$=$\frac{1}{1}$=1
$\frac{1}{2!}$=$\frac{1}{1.2}$=1-$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3!}$=$\frac{1}{1.2.3}$=$\frac{1}{2.3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4!}$=$\frac{1}{1.2.3.4}$<$\frac{1}{3.4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5!}$=$\frac{1}{1.2.3.4.5}$<$\frac{1}{4.5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$
.........................................
$\frac{1}{2012!}$=$\frac{1}{1.2.3. ... .2012}$<$\frac{1}{2011.2012}$=$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$
⇒ S=$\frac{1}{1!}$+$\frac{1}{2!}$+$\frac{1}{3!}$+$\frac{1}{4!}$+....+$\frac{1}{2012!}$
<1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+....+$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2012}$
=2-$\frac{1}{2012}$<2 (do $\frac{1}{2012}$>0) (đpcm)
Vậy S<2
