a) Ta có: Δ=b²-4ac=(2m-1)²-4.1(-m)
=4m²-4m+1+4m=4m²+1>0
⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m (đpcm)
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta được:
$x_{1}$$x_{2}$=$\frac{c}{a}$=$\frac{-m}{1}$=-m
$x_{1}$+$x_{2}$=$\frac{-b}{a}$=$\frac{-(2m-1)}{1}$=1-2m
⇒ ($x_{1}$+$x_{2}$)²=(1-2m)²
⇒ $x_{1}$²+$x_{2}$²+2$x_{1}$$x_{2}$=4m²-4m+1
⇒ $x_{1}$²+$x_{2}$²-$x_{1}$$x_{2}$=4m²-4m+1-3$x_{1}$$x_{2}$
⇒ A=4m²-4m+1-3(-m)=4m²-m+1
=(2m)²-2.2m.$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{15}{16}$
=(2m-$\frac{1}{4}$)²+$\frac{15}{16}$
Do (2m-$\frac{1}{4}$)²≥0 ∀m
⇒ A=(2m-$\frac{1}{4}$)²+$\frac{15}{16}$≥$\frac{15}{16}$ ∀m
Dấu (=) xảy ra ⇔ 2m-$\frac{1}{4}$=0 ⇔ 2m=$\frac{1}{4}$ ⇔ m=$\frac{1}{8}$
Vậy Amin=$\frac{15}{16}$ khi m=$\frac{1}{8}$
