Đáp án:
2) $GTLN$ của $A = 25 ⇔ x = - 5; y = 5$
3) $GTNN$ của $ = \frac{62}{3} ⇔ x = \frac{11}{3}; y = \frac{4}{3}; z = \frac{7}{3}$
4) $GTNN$ của $P = 2017 ⇔ x = y = 1$
Giải thích các bước giải:
2) $ 3x + 4y = 5 ⇔ 4y = 5 - 3x$
$ A = 4y² - 3x² ⇔ 4A = (4y)² - 12x² = (5 - 3x)² - 12x²$
$ = 25 - 30x - 3x² = 100 - 3(25 + 10x + x²) = 100 - 3(x + 5)² ≤ 100$
$ ⇒ A ≤ 25 ⇒ GTLN$ của $A = 25 ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = - 5; y = 5$
3) $\left \{ {{x + 2y - z = 4 (1)} \atop {2x + y + z = 11(2)}} \right.$
$(1) + (2) ⇒ 3x + 3y = 15 ⇔ x + y = 5$thay vào $(1); (2)$
$\left \{ {{(x + y) + y - z = 4} \atop {(x + y) + x + z = 11}} \right. ⇔ \left \{ {{5 + y - z = 4} \atop {5 + x + z = 11}} \right. ⇔ \left \{ {{y = z - 1 (3)} \atop {x = 6 - z(4)}} \right.$
Thay $(3); (4)$ vào $M$:
$M = x² + y² + z² = (6 - z)² + (z - 1)² + z² = 3z² - 14z + 37 $
$ ⇒ 3M = (3z)² - 2.(3z).7 + 49 + 62 = (3z - 7)² + 62 ≥ 62$
$ ⇒ M ≥ \frac{62}{3}$
Vậy $GTNN$ của $ M = \frac{62}{3} ⇔ 3z - 7 = 0 ⇔ z = \frac{7}{3}$
$ x = 6 - z = 6 - \frac{7}{3} = \frac{11}{3}; y = z - 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} $
4) $ P = x² + xy + y² - 3x - 3y + 2020 $
$ = (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (xy - x - y + 1) + 2017$
$ = (x - 1)² + (y - 1)² + (x - 1)(y - 1) + 2017$
$ = (x - 1)² + 2(x - 1)(\frac{y - 1}{2}) + (\frac{y - 1}{2})² + \frac{3}{4}(y - 1)² + 2017$
$ = [(x - 1) + \frac{y - 1}{2}]² + \frac{3}{4}(y - 1)² + 2017 ≥ 2017$
Vậy $GTNN$ của $P = 2017 $ xảy ra khi $(x - 1) + \frac{y - 1}{2} = y - 1 = 0$
$ ⇔ x = y = 1$
