Đáp án:

$a)$ $\widehat{A}=72^o;\widehat{B}=48^o;\widehat{C}=60^o$

$b)$ $HC<HB<HA$

Giải thích các bước giải:

$a)$ Ta có: $10\widehat{A}=15\widehat{B}=12\widehat{C}$`=>`$\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{4}=\frac{\widehat{C}}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\widehat{A}}{6}=\frac{\widehat{B}}{4}=\frac{\widehat{C}}{5}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{6+4+5}=\frac{180^o}{15^o}=12^o$

`=>`$\frac{\widehat{A}}{6}=12^o$`=>`$\widehat{A}=72^o;\frac{\widehat{B}}{4}=12^o$`=>`$\widehat{B}=48^o;\frac{\widehat{C}}{5}=12^o$`=>`$\widehat{C}=60^o$

Vậy: $\widehat{A}=72^o;\widehat{B}=48^o;\widehat{C}=60^o$

$b)$ Ta có: $\widehat{B}<\widehat{C}(48^o<60^o)$`=>`$AC<AB$

Vì $AC<AB$`=>`$CH<BH$ (quan hệ đường viên và hình chiếu)

$ΔABH$ có: $\widehat{H}=90^o$

`=>`$\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

`=>`$48^o+\widehat{BAH}=90^o$

`=>`$\widehat{BAH}=42^o$

Vậy: $\widehat{BAH}=42^o$

Mà: $\widehat{BAH}<\widehat{B}$`=>`$BH<AH$

`=>` $HC<HB<HA$

a/

$10\widehat{A}=15\widehat{B}=12\widehat{C}=>\dfrac{\widehat{A}}{6}=\dfrac{\widehat{B}}{4}=\dfrac{\widehat{C}}{5}$

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau:

$\dfrac{\widehat{A}}{6}=\dfrac{\widehat{B}}{4}=\dfrac{\widehat{C}}{5}=\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{6+4+5}=\dfrac{180^o}{15^o}=12^o$

$=>\left\{{\matrix{{\widehat{A}=72^o}\cr{\widehat{B}=48^o}\cr{\widehat{C}=60^o}}}\right.$

b/ 

Do $\widehat{B}<\widehat{C}(48^o<60^o)$ nên $AC<AB$

$=>CH<BH$ (q/h đường xiên và hình chiếu)

Xét $ΔABH$ vuông tại $H$ nên $\widehat{B}+\widehat{A}_1=90^o$ và $48^o+\widehat{A}_1=90^o$

$=>\widehat{A}_1=42^o$

$=>\widehat{A}_1<\widehat{B}$

$=>BH<AH$

Vậy $CH<BH<AH$.