Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BD\perp AC, CE\perp AB$
$\to\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o$
$\to BCDE$ nội tiếp
b.Từ câu a $\to\widehat{BDE}=\widehat{BCE}=\widehat{BCN}=\widehat{BMN}$
$\to DE//MN$
c.Gọi $AK$ là đường kính của $(O), F$ là trung điểm $BC$
$\to CK\perp AC, BK\perp AB$
$\to CK//BH(\perp AC), BK//CH(\perp AB)$
$\to BHCK$ là hình bình hành
$\to HK\cap BC=F$ là trung điểm mỗi đường
Mà $O$ là trung điểm $AK$
$\to OF$ là đường trung bình $\Delta AHK$
$\to AH=2OF$ không đổi
Ta có $\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=90^o+90^o=180^o$
$\to AEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
$\to $Đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$ là $AH$ không đổi
$\to$Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADE$ không đổi
Vì $BCDE$ nội tiếp
$\to\widehat{ADE}=\widehat{ABC},\widehat{AED}=\widehat{ACB}$
$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(g.g)$
$\to \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AC})^2=\cos^2\widehat{EAC}=\cos^2\widehat{BAC}$
Vì $BC, O$ không đổi
$\to\widehat{BAC}=\dfrac12\widehat{BOC}$ Không đổi
$\to S_{ADE}$ lớn nhất
$\to S_{ABC}$ lớn nhất
Gọi $AG\cap BC=G$
$\to \dfrac12AG\cdot BC$ lớn nhất
$\to AG$ lớn nhất
Gọi $OF\cap (O)=I, I,A$ cùng thuộc một cung $BC$
Kẻ $OJ\perp AG=J\to OJGF$ là hình chữ nhật
$\to AG=AJ+JG=AJ+OF\le AO+OF=IO+OF=IF$
Dấu = xảy ra khi $A\equiv I$
Vậy để diện tích $\Delta ADE$ lớn nhất $\to A$ nằm chính giữa cung $BC$
