$\text{a) Xét ΔBDM và ΔCEN có:}$
$\text{$\widehat{DBM}$ = $\widehat{ECN}$ (ΔABC cân tại A)}$
$\text{BD = CE (gt)}$
$\text{$\widehat{DMB}$ = $\widehat{ENC}$ = $90^{o}$ (DM ⊥ BC; EN ⊥ BC)}$
$\text{⇒ ΔBDM = ΔCEN (ch-gn)}$
$\text{⇒ DM = EN (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{b) Xét ΔDMN và ΔENM có:}$
$\text{DM = EN (cmt)}$
$\text{$\widehat{DMN}$ = $\widehat{ENM}$ = $90^{o}$ (DM ⊥ BC; EN ⊥ BC)}$
$\text{MN chung}$
$\text{⇒ ΔDMN = ΔENM (c.g.c) (1)}$
$\text{⇒ DN = EM (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{c) từ (1) ⇒ $\widehat{DNM}$ = $\widehat{EMN}$ (2 góc t/ứ)}$
$\text{⇒ ΔIMN cân (DHNB)}$
$\text{d) Có: $\widehat{BMD}$ + $\widehat{DMI}$ + $\widehat{IMN}$ = $180^{o}$}$
$\text{$\widehat{CNE}$ + $\widehat{ENI}$ + $\widehat{INM}$ = $180^{o}$}$
$\text{mà $\widehat{BMD}$ = $\widehat{CNE}$ = $90^{o}$; $\widehat{IMN}$ = $\widehat{INM}$ (ΔIMN cân tại I)}$
$\text{⇒ $\widehat{DMI}$ = $\widehat{ENI}$}$
$\text{Xét ΔDMI và ΔENI có:}$
$\text{từ (1) ⇒ $\widehat{MDI}$ = $\widehat{NEI}$ (2 góc t/ứ)}$
$\text{DM = EN (cmt)}$
$\text{$\widehat{DMI}$ = $\widehat{ENI}$ (cmt)}$
$\text{⇒ ΔDMI = ΔENI (g.c.g)}$
$\text{⇒ DI = EI (2 cạnh t/ứ)}$
$\text{Có: AB = AD + DB; AC = AE + EC}$
$\text{mà AB = AC (ΔABC cân tại A); DB = CE (gt)}$
$\text{⇒ AD = AE}$
$\text{Xét ΔADI và ΔAEI có:}$
$\text{AD = AE (cmt)}$
$\text{AI chung}$
$\text{DI = EI (cmt)}$
$\text{⇒ ΔADI = ΔAEI (c.c.c)}$
$\text{⇒ $\widehat{DAI}$ = $\widehat{EAI}$ (2 góc t/ứ)}$
$\text{⇒ AI là p/g $\widehat{BAC}$}$
