`\overline{abc}`
`⇒a,b,c<9; a\ne0`
`\overline{abc}/(a+b+c)`
`⇔(100a+10b+c)/(a+b+c)`
`⇔1+(99a+9b)/(a+b+c)`
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c)`
*) Tìm Min
Ta có:
`1+[9(11a+b)]/(a+b+c) ≥ 1+[9(11a+b)]/(a+b+9)` (do `c≤9` thì mẫu của phân số vế trái bé hơn mà hai phân số cùng tử nên phân số bên trái lớn hơn)
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c) ≥ 1+(9a+9b+81+90a-81)/(a+b+9)`
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c) ≥1+9+(90a-81)/(a+b+9)`
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c) ≥10+(90a-81)/(a+b+9)`
Ta có:
`(90a-81)/(a+b+9) ≥ (90a-81)/(a+9+9)` (do `b≤9` thì mẫu của phân số vế trái bé hơn mà hai phân số cùng tử nên phân số bên trái lớn hơn)
`⇔(90a-81)/(a+b+9) ≥ (90a+1620-1701)/(a+18)`
`⇔(90a-81)/(a+b+9) ≥ 90-1701/(a+18)`
Ta có:
`-1701/(a+18)≥1701/(1+18)` (do nếu `a≥1` thì mẫu của phân số vế trái lớn hơn mà hai phân số cùng tử nên phân số bên trái bé hơn,nhưng hai phân số đều có dấu âm nên phân số bên trái lớn hơn)
`⇔-1701/(a+18)≥-1701/19`
`⇔90-1701/(a+18)≥90-1701/19`
`⇔(90a-81)/(a+b+9)≥90-1701/(a+18)≥90-1701/19`
`⇔(90a-81)/(a+b+9)≥90-1701/19`
`⇔10+(90a-81)/(a+b+9)≥10+90-1701/19`
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c) ≥10+(90a-81)/(a+b+9)≥10+90-1701/19`
`⇔1+[9(11a+b)]/(a+b+c)≥10+90-1701/19`
`⇔B≥100-1701/19`
`⇔B≥199/19`
*) Tìm Max
`\overline{abc}/(a+b+c) `
`= (100a+10b+c)/(a+b+c)`
Với `b=c=0`
`⇒B=(100a)/a=100`
Với `b,c \ne 0`
`⇒(100a+10b+c)/(a+b+c) < (100a+100b+100c)/(a+b+c) = 100`
`⇔B ≤ 100`
