Đáp án: $x=8;x=9$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $|x-8|^5≥|x-8|$
$|x-9|^3≥|x-9|$
$⇒|x-8|^5+|x-9|^3≥|x-8|+|x-9|$
Lại có: $|x-8|+|x-9|=|x-8|+|9-x|≥|x-8+9-x|=|1|=1$
$⇒|x-8|^5+|x-9|^3≥1$
Dấu bằng xảy ra
$⇔\left \{ {{|x-8|^5=|x-8|} \atop {|x-9|^3=|x-9|}} \atop {(x-8)(9-x)≥0} \right.$ ($1$)
Từ $|x-8|^5=|x-8|$
$⇔|x-8|^5-|x-8|=0$
$⇔|x-8|(|x-8|^4-1)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}|x-8|=0\\|x-8|^4-1=0\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x-8=0\\|x-8|=1\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x-8=0\\\left[ \begin{array}{l}x-8=1\\x-8=-1\end{array} \right. \end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x=8\\\left[ \begin{array}{l}x=9\\x=7\end{array} \right. \end{array} \right.$
Chỉ có $x=8;x=9$ thỏa mãn ĐK thứ 3 trong ($1$)
Từ $|x-9|^3=|x-9|$
$⇔|x-9|^3-|x-9|=0$
$⇔|x-9|(|x-9|^2-1)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}|x-9|=0\\|x-9|^2-1=0\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x-9=0\\|x-9|=1\end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x=9\\\left[ \begin{array}{l}x-9=1\\x-9=-1\end{array} \right. \end{array} \right.$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x=9\\\left[ \begin{array}{l}x=10\\x=8\end{array} \right. \end{array} \right.$
Chỉ có $x=8;x=9$ thỏa mãn ĐK thứ 3 trong ($1$)
Vậy nghiệm của phương trình là $x=8;x=9$
