a) Ta có: $MA = MB \,(gt)$
$NA = NC \, (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//BC$
$\Rightarrow BMNC$ là hình thang đáy $MN, \, BC$
mà $AB = AC \, (gt)$
$\Rightarrow MB = NC$
Do đó $BMNC$ là hình thang cân
b) Ta có: $HB = HC \, (gt)$
$\Rightarrow HN$ là đường trung bình
$\Rightarrow HN = \dfrac{AB}{2} = AM$
$\Rightarrow HN = AM = AN$
Tương tự, $MH$ là đường trung bình
$\Rightarrow MH = \dfrac{AC}{2} = AN$
$\Rightarrow HN = HM = AM = AN$
Do đó $AMHN$ là hình thoi
c) Ta có:
$HN = NK \, (gt)$
$\Rightarrow HK = AB$
mà $HN//AB$
$\Rightarrow HK//AB$
Do đó $BAKH$ là hình bình hành
Ta lại có $O$ là trung điểm đường chéo $AH$
$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $BK$
$\Rightarrow B, O, K$ thẳng hàng
d) Do $ABHK$ là hình bình hành
$\Rightarrow AK//BH$
hay $AK//BC$
$AK = BH$
$\Rightarrow AK = \dfrac{BC}{2}$
$\Rightarrow ∆ADK\sim ∆CDB$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AK}{BC} = \dfrac{1}{2}$
hay $AD = \dfrac{DC}{2}$
$\Rightarrow AD = \dfrac{AC}{3}$
$\Rightarrow AC = 3AD$
mà $AC = AB$
nên $AB = 3AD$
