Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Gọi giao điểm của CI và BE là F
⇒CF⊥BE tại F
Ta có: ΔCEF vuông tại F(CF⊥BE, F∈BE)
nên FCEˆ+CEFˆ=900FCE^+CEF^=900(hai góc nhọn phụ nhau)
⇔ACIˆ=900−FECˆ⇔ACI^=900−FEC^
mà FECˆ=AEBˆFEC^=AEB^(hai góc đối đỉnh)
nên ACIˆ=900−AEBˆACI^=900−AEB^(1)
Ta có: ΔAEB vuông tại A(CA⊥BA, E∈AC)
nên ABEˆ+AEBˆ=900ABE^+AEB^=900(hai góc nhọn phụ nhau)
hay ABEˆ=900−AEBˆABE^=900−AEB^(2)
Từ (1) và (2) suy ra ACIˆ=ABEˆACI^=ABE^
Xét ΔACI vuông tại A và ΔABE vuông tại A có
AC=AB(ΔABC vuông cân tại A)
ACIˆ=ABEˆACI^=ABE^(cmt)
Do đó: ΔACI=ΔABE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒CI=BE(hai cạnh tương ứng)(đpcm1)
b) Ta có: ΔACI=ΔABE(cmt)
⇒AI=AE(hai cạnh tương ứng)
mà AD=AE(gt)
nên AI=AD
mà A,I,D thẳng hàng
nên A là trung điểm của ID
Ta có: CI⊥BE(gt)
MD⊥BE(gt)
NA⊥BE(gt)
Do đó: CI//MD//NA(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác MDIC có MD//CI(cmt)
nên MDIC là hình thang có hai đáy là MD và CI(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang MDIC(MD//CI) có
A là trung điểm của cạnh bên ID(cmt)
AN//MD//CI(cmt)
Do đó: N là trung điểm của CM(định lí 3 về đường trung bình của hình thang)
⇒NM=NC(đpcm2)
