Bài 5:
a) Ta có: $BD\perp AC \, (gt)$
$CK\perp AC \, (gt)$
$\Rightarrow CK//BD$
hay $CK//BH$
$CE\perp AB \, (gt)$
$BK\perp AB \, (gt)$
$\Rightarrow BK//CE$
hay $BK//CH$
Xét tứ giác $BHCK$ có:
$BH// CK$
$CH//BK$
Do đó $BHCK$ là hình bình hành
b) $BHCK$ là hình bình hành
$M$ là trung điểm đường chéo $BC$
$\Rightarrow M$ là trung điểm đường chéo $KH$
$\Rightarrow H, M, K$ thẳng hàng
Xét $ΔAHK$ có:
$AI = IK \, (gt)$
$HM = MK \, (cmt)$
$\Rightarrow IM$ là đường trung bình
$\Rightarrow IM = \dfrac{AH}{2}$
Bài 6:
a) Xét $ΔCDF$ và $ΔEBC$ có:
$CD = BE \, (=AB)$
$DF = BC \, (=AD)$
$\widehat{CDF} = \widehat{EBC} \, (=360^o - 90^o - \widehat{ADC})$
Do đó $ΔCDF=ΔEBC \, (c.g.c)$
b) Do $ΔCDF=ΔEBC$
nên $\widehat{DCF} = \widehat{BEC}$
Ta có: $\widehat{ECF} = \widehat{ECB} + \widehat{BCD} + \widehat{DCF}$
$= \widehat{ECB} + \widehat{BEC} + \widehat{BAD}$
$= 180^o - \widehat{EBC} + 180^o - \widehat{ABC}$
$=360^o - (\widehat{EBC} + \widehat{ABC})$
$= \widehat{EBA} = 90^o$
Xét $ΔCEF$ có:
$CE = CF \, (ΔCDF=ΔEBC)$
$\widehat{ECF} = 90^o \, (cmt)$
Do đó $CEF$ là tam giác vuông cân tại $C$
