`a)` Để `(4n + 1)/(2n - 3)` là số chính phương
thì: `4n + 1` $\vdots$ `2n - 3`
mà `2 . (2n - 3)` $\vdots$ `2n - 3`
nên: `(4n + 1) - 2 . (2n - 3)` $\vdots$ `2n - 3`
⇒ `4n + 1 - 4n + 6` $\vdots$ `2n - 3`
⇒ `7` $\vdots$ `2n - 3`
Vì `n ∈ Z`
nên: `2n - 3 ∈ Ư (7) = { 1 ; -1 ; 7 ; -7 }`
`⇒ 2n ∈ { 4 ; 2 ; 10 ; -4 }`
`⇒ n ∈ { 2 ; 1 ; 5 ; -2 }`
+) Với `n = 2`
thì: `B = (4n + 1)/(2n - 3) = (4 . 2 + 1)/(2 . 2 - 3) = 9/1 = 9 = 3^2` là 1 số chính phương
+) Với `n = 1`
thì: `B = (4n + 1)/(2n - 3) = (4 . 1 + 1)/(2 . 1 - 3) = 5/(-1) = - 5` không là 1 số chính phương
+) Với `n = 5`
thì: `B = (4n + 1)/(2n - 3) = (4 . 5 + 1)/(2 . 5 - 3) = 21/7 = 3` không là 1 số chính phương
+) Với `n = -2`
thì: `B = (4n + 1)/(2n - 3) = (4 . (-2) + 1)/(2 . (-2) - 3) = (-7)/(-7) = 1 = 1^2` là 1 số chính phương
Vậy để `B` có giá trị là 1 số chính phương thì: `n ∈ {2 ; -2}`
`b)` Gọi d là `ƯC (4n + 1 ; 2n - 3), d ∈ Z`
`⇒ 4n + 1` $\vdots$ d và `2n - 3` $\vdots$ d
`⇒ 4n + 1` $\vdots$ d và `2 . (2n - 3)` $\vdots$ d
`⇒ 4n + 1` $\vdots$ d và `4n - 6` $\vdots$ d
`⇒ (4n + 1) - (4n - 6)` $\vdots$ d
`⇒ 4n + 1 - 4n + 6` $\vdots$ d
`⇒ 7` $\vdots$ d, `d ∈ Z`
`⇒ d ∈ { 1 ; -1 ; 7 ; -7 }`
Để `B` là phân số tối giản
thì: d $\neq$ `7 ; -7`
`⇒ 4n + 1` $\not\vdots$ `7`
`⇒ 4n + 1 + 7` $\not\vdots$ `7`
`⇒ 4n + 8` $\not\vdots$ `7`
`⇒ 4(n + 2)` $\not\vdots$ `7`
mà `4` $\not\vdots$ `7`
`⇒ n + 2` $\not\vdots$ `7`
`⇒ n` $\neq$ `7k - 2, k ∈ Z`
Vậy `n` $\neq$ `7k - 2, k ∈ Z` thì `B` là phân số tối giản
`c)`
Ta có: `B = (4n + 1)/(2n - 3) = (2 . (2n - 3) + 7)/(2n - 3) = 2 + 7/(2n - 3)`
Để `B` đạt GTLN thì: `7/(2n - 3)` đạt GTLN.
`⇒ 2n - 3` là số nguyên dương nhỏ nhất
`⇒ 2n - 3 = 1`
`⇒ 2n = 4`
`⇒ n = 2`
Khi đó, `B = (4 . 2 + 1)/(2 . 2 - 3) = 9`
Vậy `MaxB = 9 ⇔ n = 2`
