Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $: x = 1 + b - a; y = 1 + c - b; z = 1 + a - c$
$ z - x = 2a - (b + c) = 3a - 1⇒ 3a = 1 + z - x $
$ x - y = 2b - (c +a) = 3b - 1 ⇒ 3b = 1 + x - y$
$ y - z = 2c - (a + b) = 3c - 1 ⇒ 3c = 1 + y - z$
$ ⇒ x + y + z = 3$
Áp dụng cô si cho 3 số$ x; y ; z$
$ (x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) ≥ (3\sqrt[3]{xyz}).(3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}) = 9 $
$ ⇒ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ \frac{9}{x + y + z} = 3$
Thay vào biểu thức của $P:$
$ 3P = \frac{3a}{1 + b - a} + \frac{3b}{1 + c - b} + \frac{3c}{1 + a - c} $
$ = \frac{1 + z - x}{x} + \frac{1 + x - y}{y} + \frac{1 + y - z}{z} $
$ = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{z} - 3$
$ = 3 + 3\sqrt[3]{\frac{z}{x}.\frac{x}{y}.\frac{y}{z}} - 3 = 3 ⇒ P ≥ 1$
Vậy $GTNN$ của $P = 1$ khi $ x = y = z = 1 ⇔ a = b= c = \frac{1}{3}$
