Giải thích các bước giải:
a. Ta có : $\widehat{MOB}+\widehat{BON}=\widehat{MON}=90°$ ; $\widehat{NOC}+\widehat{BON}=\widehat{BOC}=90°$
⇒ $\widehat{MOB}=\widehat{NOC }$
xét ΔOMB và ΔONC có : $\widehat{MOB}=\widehat{NOC }$ (cmt) ; OB=OC ; $\widehat{OBM}=\widehat{OCN }=45°$
⇒ ΔOMB = ΔONC (g.c.g) ⇒ OM=ON ( 2 cạnh tương ứng )
Xét ΔMON có: $\widehat{MON}=90°$ ; OM=ON ⇒ ΔMON vuông cân tại O (đpcm).
b. Ta có : ΔOMB = ΔONC ( cmt ) ⇒ BM = CN
⇒ AB - BM = BC - CN ⇒ AM = BN
⇒ AMBM =BNCN . Mà BNCN = ANEN ( Hệ quả ĐL Thales )
Nên AMBM =ANEN ⇒ MN // BE ( ĐL Thales đảo ) ( đpcm ).
c. Do MN // BE ( cmt ) nên $\widehat{MNO}=\widehat{BKO }=45°$ ( 2 góc đồng vị ).
Mà $\widehat{BCO }=45°$ ⇒ $\widehat{BKO }=\widehat{BCO }=45°$ hay $\widehat{BKN }=\widehat{OCN }$ ⇒ ΔBNK ~ ΔONC ( g.g )
⇒ BNON =KNCN hay BNKN =ONCN ⇒ ΔBON ~ ΔKCN ( c.g.c )
⇒ $\widehat{OBN }=\widehat{CKN }$ ⇒ $\widehat{CKN }=45°$ ( Vì $\widehat{OBN }=45°$ )
Vậy $\widehat{BKC }=\widehat{BKO }+\widehat{CKN }=45°+45°=90°$ ⇒ CK ⊥ BE ( đpcm ).
d. KH // OM , OM ⊥ OK ⇒ KH ⊥ OK hay KH ⊥ NK
⇒ $\widehat{CKH }=\widehat{NKH }-\widehat{CKN }=90°-45°=45°$
⇒ KC là phân giác $\widehat{NKH }$
⇒ $\dfrac{KN}{KH}=\dfrac{CN}{CH}=\dfrac{BN}{BH}$ ( ĐL đường phân giác trong tam giác ) (1)
dễ thấy KN là phân giác ΔBKC ⇒ $\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{CN}{BN}=\dfrac{CH}{BH}$ (2)
từ (1) và (2) ⇒ $\dfrac{KC}{KB}+\dfrac{KN}{KH}=\dfrac{BN+CH}{BH}$
⇔ $\dfrac{KC}{KB}+\dfrac{KN}{KH}+\dfrac{CN}{BH}=\dfrac{BN+CH+CN}{BH}$
⇒ $\dfrac{KC}{KB}+\dfrac{KN}{KH}+\dfrac{CN}{BH}=1$ ( ĐPCM )
