Đáp án: $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $BM\cap AB'=D$
Ta có:
$AA'//BB'\to \dfrac{DM}{DB}=\dfrac{AM}{BB'}=\dfrac{\dfrac12AA'}{BB'}=\dfrac{\dfrac12AA'}{AA'}=\dfrac12$ vì $M$ là trung điểm $AA'$
$\to d(M, AB'C)=\dfrac12d(B, AB'C)$
Gọi $E$ là trung điểm $AC\to BE\perp AC$ vì $\Delta ABC$ đều
$\to BE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Kẻ $BH\perp B'E$
Ta có $BE\perp AC, BB'\perp AC\to AC\perp (BB'E)$
$\to AC\perp BH\to BH\perp AB'C$
$\to d(B, AB'C)=BH$
Mà $\Delta BB'E$ vuông tại $B, BH\perp B'E$
$\to\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{BB'^2}$
$\to BH=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$
$\to d(M, AB'C)=\dfrac12BH=\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$
